Het getal van Euler: e

Het getal dat wij weergeven met de letter e wordt toegeschreven aan de Zwitserse wis- en natuurkundige Leonhard Euler (15 april 1707 – 18 sept. 1783). Het getal wordt als volgt gedefiniëerd.

\displaystyle e := \lim_{n \to \infty} \left({1 + \frac 1 n}\right)^n

We gaan er even van uit dat deze limiet bestaat en niet oneindig is en gaan vervolgens het onderstaande bewijzen:

\displaystyle e = \sum_{k \mathop \ge 0} \frac 1 {k!}.

Oftewel:

\displaystyle e = \frac 1 {0!} + \frac 1 {1!} + \frac 1 {2!} + \frac 1 {3!} + \frac 1 {4!} \cdots

Eerst gaan we:

\displaystyle \left({1 + \dfrac 1 n}\right)^n

m.b.v. de Binomiale Stelling uitschrijven. Daarbij gebruiken we:

\displaystyle \dfrac {n - k} n = 1 - \dfrac k n.

Dit geeft:

\displaystyle \left({1 + \dfrac 1 n}\right)^n=

\displaystyle 1 + n \left({\frac 1 n}\right) + \frac {n \left({n - 1}\right)} 2 \left({\frac 1 n}\right)^2 + \cdots + \left({\frac 1 n}\right)^n\ =

\displaystyle \frac 1 {0!} + \frac 1 {1!} + \left({1 - \frac 1 n}\right) \frac 1 {2!} + \left({1 - \frac 1 n}\right) \left({1 - \frac 2 n}\right)\frac 1 {3!} + \cdots + \left({1 - \frac 1 n}\right) \left({1 - \frac 2 n}\right) \cdots \left({1 - \frac {n - 1} n}\right) \frac 1 {n!}

We nemen vervolgens één van voorgaande termen (in dit geval de laatste):

\displaystyle x = \left({1 - \dfrac 1 n}\right) \left({1 - \dfrac 2 n}\right) \cdots \left({1 - \dfrac {k - 1} n}\right) \dfrac 1 {k!}

Als n naar oneindig gaat, gaat 1/n naar 0:

\displaystyle \dfrac 1 n \to 0 als n \to \infty

Hieruit volgt weer:

\displaystyle x = \left({1 - \dfrac 1 n}\right) \left({1 - \dfrac 2 n}\right) \cdots \left({1 - \dfrac {k - 1} n}\right) \dfrac 1 {k!} \to \dfrac 1 {k!} als \displaystyle n \to \infty

En dat tenslotte leidt tot:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left({1 + \frac 1 n}\right)^n = \frac 1 {0!} + \frac 1 {1!} + \frac 1 {2!} + \frac 1 {3!} + \cdots = \sum_{k \mathop = 0}^\infty \frac 1 {k!}.

Hiermee is het gevraagde bewezen.

De eerste cijfers van e zijn: {\displaystyle e=2{,}718281828459\ldots }.

Het getal van Euler, e, wordt ook wel de constante van Napier, naar de Schotse wiskundige John Napier, genoemd. Euler noemde deze constante het “exponentiële getal”, vandaar waarschijnlijk ook de letter e.