Afgeleide van f(x)=sin(x)

Om de afgeleide van de functie f(x)=\sin x te bepalen beginnen we met het invullen van deze functie in de definitie van de afgeleide:

\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}.

Voor het bepalen van deze maken we gebruik van de volgende somformule voor de sinus functie:

\sin (x+y)=\sin x \cos y+\sin y \cos x.

Deze toepassen geeft:

\frac{d}{dx} \sin x= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x \cos(\Delta x)+\cos x \sin(\Delta x)-\sin x}{\Delta x}

Dit kan als volgt worden vereenvoudigd:

\frac{d}{dx} \sin x= \lim_{\Delta x \to 0}[\frac{\sin x \cos(\Delta x)-\sin x}{\Delta x}+\frac{\cos x \sin(\Delta x)}{\Delta x}]

= \lim_{\Delta x \to 0}[\frac{\sin x (\cos \Delta x -1)}{\Delta x}+\frac{\cos x \sin (\Delta x)}{\Delta x}]

=\lim_{\Delta x \to 0}[\sin x (\frac{\cos (\Delta x)-1}{\Delta x})+\cos x \frac{\ sin(\Delta x)}{\Delta x}]

=\lim_{\Delta x \to 0}\sin x(\frac{\cos (\Delta x)-1}{\Delta x})+\lim_{\Delta x \to 0}\cos x(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x})

Bewezen kan worden dat:

(1) \lim_{\Delta x \to 0}(\frac{\cos (\Delta x)-1}{\Delta x})=1 en

(2) \lim_{\Delta x \to 0}(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x})=1

Als we deze twee limieten gebruiken, dan volgt:

\frac{d}{dx}\sin x =\cos x