Het getal π

De verhouding van de omtrek en de diameter (2 x straal) van een cirkel is bekend als het getal π. In 1706 werd in het beoek A New Introduction top Mathematics (William Jones) het getal π vopor deze verhouding gebruikt. Algemeen werd de notatie pas nadat de wiskundige Leonhard Euler deze ook gebruikte.

Van π is bekend dat het een irrationeel getal is: het is niet te schrijven als de breuk van met gehele getallen als coëfficiënten. Het is ook een transcendent getal is: het kan niet worden geschreven als de oplossing van een algebraïsche vergelijking met een eindig aantal gehele getal als coëfficiënten. Het is nog onbekend of π een normaal getal is, d.w.z. dat elke cijfergroep even vaak voorkomen.

De wiskundige Johann Heinrich Lambert gaf in 1761 als bewijs dat π irrationeel is.

Eerst toonde hij aan dat:

{\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}

Hij bewees vervolgend dat als x≠0 en rationeel bovengenoemde kettingbreuk irrationeel is.

Aangezien \tan(\cfrac {\pi}{4})=1 volgt hieruit dat \cfrac {\pi}{4} irrationeel is en daarmee ook π.

Comments are closed.